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Geometrie-Geschichte


Eine seltsame Konstruktion der alten Perser, um die Bewegung der Sterne zu untersuchen. Ein alter Kompass. Ein alter Platz und darunter die bildliche Darstellung des Satzes von Pythagoras. Ein Papyrus mit geometrischen Mustern und der Büste des großen Euklids. Dies sind grundlegende Schritte bei der Entwicklung der Geometrie. Doch lange bevor das vorhandene Wissen zusammengetragen wurde, legten die Menschen den Grundstein für die Geometrie im Geschmack der Erfahrung. Und sie führten mentale Operationen durch, die später in den geometrischen Figuren realisiert wurden.

Ein Maß für das Leben

Die Ursprünge der Geometrie (aus dem Griechischen Messen Sie die Erde) scheinen den Bedürfnissen des Alltags gerecht zu werden. Fruchtbares Land an den Ufern von Flüssen zu teilen, Häuser zu bauen, die Bewegungen der Sterne zu beobachten und vorherzusagen, sind einige der vielen menschlichen Aktivitäten, die immer von geometrischen Operationen abhingen. Dokumente über die alten ägyptischen und babylonischen Zivilisationen belegen gute Fachkenntnisse, die normalerweise mit der Astrologie zusammenhängen. In Griechenland gab ihnen das Genie der großen Mathematiker jedoch eine bestimmte Form. Von den Griechen vor Euklid, Archimedes und Apollonius gibt es nur das Fragment eines hippokratischen Werkes. Und Proclos zusammenfassender Kommentar zu Euklids "Elementen", einem Werk aus dem 5. Jahrhundert v. Chr., Bezieht sich auf Tales of Miletus als Einführung in die Geometrie in Griechenland durch den Import aus Ägypten.

Pythagoras nannte einen wichtigen Satz über das Dreieck-Rechteck, der ein neues Konzept der mathematischen Demonstration einleitete. Aber während die pythagoreische Schule im 6. Jahrhundert v. Chr. Eine Art philosophische Sekte darstellte, die ihr Wissen auf mysteriöse Weise umfasste, stellen Euklids "Elemente" die Einführung einer konsistenten Methode dar, die mehr als zwanzig Jahrhunderte zum Fortschritt der Wissenschaften beigetragen hat. Es ist das axiomatische System, das von den Begriffen und Sätzen abweicht, die ohne Demonstration zugelassen wurden (die Axiome postuliert), um alles andere logisch zu konstruieren. Somit dienen drei grundlegende Konzepte - der Punkt, die Linie und der Kreis - und fünf verwandte Postulate als Grundlage für alle so genannten euklidischen Geometrien, die auch heute noch nützlich sind, obwohl es nichteuklidische Geometrien gibt, die auf unterschiedlichen (und widersprüchlichen) Postulaten beruhen. Euklids.

Der Körper als Einheit

Die ersten Maßeinheiten beziehen sich direkt oder indirekt auf den menschlichen Körper: Spannweite, Fuß, Stufe, Arm, Ulna. Um 3500 v. Chr. - als Mesopotamien und Ägypten mit dem Bau der ersten Tempel begannen - mussten ihre Designer einheitlichere und genauere Einheiten finden. Sie nahmen die Länge der Körperteile eines einzelnen Mannes (normalerweise des Königs) an und bauten mit diesen Maßen Holz- und Metalllineale oder geknotete Seile, die die ersten offiziellen Längenmaße waren.

Winkel und Figuren

Sowohl bei den Sumerern als auch bei den Ägyptern waren die primitiven Felder rechteckig. Die Gebäude hatten auch regelmäßige Grundrisse, die die Architekten zwangen, viele rechte Winkel (90 Grad) zu bauen. Trotz des reduzierten intellektuellen Gepäcks lösten diese Männer das Problem bereits heute als Zeichner. Mit zwei in die Erde gerammten Pfählen markierten sie ein gerades Liniensegment. Dann banden und streckten sie Kordeln, die nach Art von Stäben arbeiteten: Zwei Bögen des Umfangs schnitten und bestimmten zwei Punkte, die sich vereinigten, senkrecht zu dem anderen geraden Schnitt und bildeten die rechten Winkel.

Das häufigste Problem für einen Builder besteht darin, an einem bestimmten Punkt die Senkrechte zu einer Linie zu zeichnen. Der vorherige Prozess löst dieses Problem nicht, da der Scheitelpunkt des rechten Winkels bereits im Voraus bestimmt wurde. Die alten Geometer lösten es mit Hilfe von drei Saiten, die so angeordnet waren, dass sie die Seiten eines Dreiecks-Rechtecks ​​bildeten. Diese Saiten hatten Längen von 3, 4 bzw. 5 Einheiten. Der Satz von Pythagoras erklärt, warum: In jedem Dreieck-Rechteck ist die Summe der Quadrate der Kragen gleich dem Quadrat der Hypotenuse (gegenüber dem rechten Winkel). E 32+42=52dh 9 + 16 = 25.

Jedes Trio von ganzen Zahlen oder nicht, das diese Beziehung respektiert, definiert Dreiecke-Rechtecke, die in der Antike in der Form von standardisiert wurden Quadrate.

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Flächen messen

Die mit der Besteuerung des Landes beauftragten Priester begannen wahrscheinlich, die Länge der Felder auf einen Blick zu berechnen. Als eines Tages Arbeiter beobachtet wurden, die eine rechteckige Oberfläche mit quadratischen Mosaiken pflasterten, bemerkte ein Priester möglicherweise, dass man, um die Gesamtzahl der Mosaiken zu ermitteln, nur die in einer Reihe zählen und diese Anzahl so oft wiederholen musste, wie es noch gab. So entstand die Formel der Rechteckfläche: Multiplizieren Sie die Basis mit der Höhe.

Um den Bereich des Dreiecks zu entdecken, folgten die ehemaligen Inspektoren einer äußerst geometrischen Überlegung. Nimm dazu einfach ein Quadrat oder ein Rechteck und teile es in gleiche Quadrate. Angenommen, das Quadrat hat 9 "Quadrate" und ein Rechteck 12. Diese Zahlen drücken dann die Fläche dieser Figuren aus. Wenn man das Quadrat entlang der diagonalen Linie in zwei gleiche Teile schneidet, entstehen zwei gleiche Dreiecke, deren Fläche natürlich die Hälfte der Fläche des Quadrats beträgt.

Bei einer unebenen Erdoberfläche (weder quadratisch noch dreieckig) appellierten frühe Kartenhersteller und Vermesser an das als bekannte Kunstobjekt TriangulationAusgehend von einem beliebigen Winkel zeichneten sie Linien in allen anderen sichtbaren Winkeln des Feldes, sodass es vollständig in dreieckige Abschnitte unterteilt war, deren kombinierte Flächen die Gesamtfläche ergaben. Diese heute noch angewandte Methode führte zu kleinen Fehlern, wenn das Gelände nicht flach war oder gekrümmte Kanten aufwies.

Tatsächlich folgen viele Länder dem Umriss eines Hügels oder dem Verlauf eines Flusses. Und einige Gebäude erfordern eine gekrümmte Wand. Somit stellt sich ein neues Problem: Wie bestimmt man die Länge eines Kreises und die Fläche eines Kreises? Mit Umfang ist die Umfangslinie des Kreises gemeint, die eine Oberfläche ist. Die alten Geometer stellten fest, dass zum Zeichnen großer oder kleiner Kreise ein langes oder kurzes Seil verwendet und um einen festen Punkt gedreht werden musste, bei dem es sich um den im Boden eingebetteten Pfahl als Mittelpunkt der Figur handelte. Die Länge dieses Seils - heute bekannt als Radius Es hatte etwas mit der Länge des Umfangs zu tun. Durch Entfernen des Seils vom Pfahl und Platzieren über dem Umfang, um zu sehen, wie oft es passte, konnten sie feststellen, dass es etwas mehr als sechseinhalb Mal passte. Unabhängig von der Länge des Seils war das Ergebnis das gleiche. So zogen sie einige Schlussfolgerungen: a) Die Länge eines Kreises beträgt immer das 6,28-fache seines Radius; b) Um die Länge eines Umfangs zu bestimmen, überprüfen Sie einfach die Länge des Radius und multiplizieren Sie ihn mit 6,28.

Und die Fläche des Kreises? Die Geschichte der Geometrie erklärt es auf einfache und interessante Weise. Um 2000 v. Chr. Wunderte sich ein ägyptischer Schreiber namens Ahmes über die Gestaltung eines Kreises, in dem er den Radius nachgezeichnet hatte. Ziel war es, den Bereich der Figur zu finden.

Nach der Überlieferung hat Ahmes das Problem leicht gelöst: Zuerst dachte er daran, die Fläche eines Quadrats zu bestimmen und zu berechnen, wie oft diese Fläche in die Fläche des Kreises passen würde. Welches Quadrat soll ich wählen? Irgendjemand? Es schien vernünftig, die Seite zu wählen, die der eigene Radius der Figur auf der Seite hatte. Er tat dies und bewies, dass das Quadrat mehr als dreimal und weniger als viermal oder ungefähr dreimal und siebenmal im Kreis enthalten war (jetzt sagen wir 3,14 mal). Dann folgerte er, um die Fläche eines Kreises zu kennen, berechnen Sie einfach die Fläche eines auf dem Radius gebauten Quadrats und multiplizieren Sie seine Fläche mit 3,14.

Die Zahl 3.14 ist in Geometrie und Mathematik grundlegend. Die Griechen haben es etwas weniger ungenau gemacht: 3,1416. Heute steht das Symbol ("pi") für diese irrationale Zahl, die bereits auf mehrere Dutzend Dezimalstellen festgelegt wurde. Sein Name ist nur etwa zweihundert Jahre alt und stammt aus der ersten Silbe des Wortes Peripherie, Umfang bedeutend.

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Neue Figuren

Um 500 v. Chr. Wurden in Griechenland die ersten Universitäten gegründet. Thales und sein Schüler Pythagoras sammelten alle Kenntnisse über Ägypten, Etrurien, Babylon und sogar Indien, um Mathematik, Navigation und Religion zu entwickeln und anzuwenden. Die Neugierde wuchs und Bücher über Geometrie waren sehr gefragt. Bald ersetzte eine Stange das Seil und den Pflock, um Kreise zu ziehen, und das neue Instrument wurde in das Arsenal der Geometer aufgenommen. Das Wissen über das Universum nahm rapide zu und die pythagoreische Schule behauptete sogar, dass die Erde eher kugelförmig als flach sei. Es entstanden neue geometrische Konstruktionen, und ihre Flächen und Umfänge waren jetzt leicht zu berechnen.

Eine dieser Figuren wurde gerufen Polygonaus dem Griechischen Polygonwas "viele Winkel" bedeutet. Heute werden sogar Schiffs- und Flugzeugrouten durch fortschrittliche Geometriemethoden verfolgt, die in Radargeräte und andere Geräte integriert sind. Es überrascht nicht, dass "die Geometrie seit den Tagen des antiken Griechenlands eine angewandte Wissenschaft war, die zur Lösung praktischer Probleme eingesetzt wurde. Von den Problemen, die die Griechen lösen konnten, verdienen zwei Erwähnung: die Berechnung der Entfernung eines Objekts zu einem Beobachter und die Berechnung der Höhe eines Gebäudes.

Im ersten Fall, um beispielsweise die Entfernung eines Bootes zur Küste zu berechnen, wurde ein merkwürdiges Gerät verwendet. Zwei Beobachter standen so, dass einer das Boot in einem Winkel von 90 Grad zur Küste und der andere in einem Winkel von 45 Grad sehen konnte. Dabei befanden sich das Schiff und die beiden Beobachter genau an den Eckpunkten eines gleichschenkligen Dreiecks, da die beiden spitzen Winkel jeweils 45 Grad maßen, sodass die Kragen gleich waren. Es genügte, die Entfernung zwischen den beiden Beobachtern zu messen, um die Entfernung vom Boot zum Ufer zu ermitteln.

Die Berechnung der Höhe eines Gebäudes, eines Denkmals oder eines Baumes ist ebenfalls sehr einfach: Ein Pfahl wird senkrecht an die Erde genagelt, und der Moment wird erwartet, wenn das Ausmaß seines Schattens der Höhe entspricht. Das aus dem Pfahl, seinem Schatten und der Verbindungslinie zwischen den Enden beider Pfähle gebildete Dreieck ist gleichschenklig. Messen Sie einfach den Schatten, um die Höhe zu ermitteln.

Quelle: Knowing Encyclopedic Dictionary - April Cultural

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