Im Detail

Null, komplexe und rationale Wurzeln


Nullwurzeln

Jede algebraische Gleichung, deren unabhängiger Term ist Null bekannt nummer Null als Wurzel, deren Multiplizität gleich dem kleinsten Exponenten des Unbekannten ist.

Diese Wurzeln heißen Nullwurzeln.

Beispiele:

Komplexe Wurzeln

Lösen wir die algebraische Gleichung x² -2x + 2 = 0:

Es kann gezeigt werden, dass, wenn eine komplexe Zahl, deren Imaginärteil nicht null ist, die Wurzel einer Gleichung mit reellen Koeffizienten ist, auch ihr Konjugat die Wurzel dieser Gleichung ist.

Folgen:

  • Die Anzahl der komplexen Wurzeln einer algebraischen Gleichung von reellen Koeffizienten ist notwendigerweise gerade;
  • Wenn eine algebraische Gleichung von reellen Koeffizienten einen ungeraden Grad hat, wird sie mindestens eine reelle Wurzel annehmen.

Rationale Wurzeln

Gegeben ist eine algebraische Gleichung ganzzahliger Koeffizienten mit  und Wenn es rationale Wurzeln gibt, werden sie wie folgt sein. , mit p und was Cousins ​​unter sich, wo p ist ein Teiler von  und was ist Teiler von .

Zum Beispiel in der Gleichung wir haben:

 Bemerkungen:

  • Nicht jede erhaltene Zahl ist die Wurzel der Gleichung. Nach der Auflistung der rationalen Wurzelkandidaten müssen wir die Verifikation durchführen.
  • Diese Suche nach rationalen Wurzeln kann nur mit ganzzahligen Koeffizientengleichungen durchgeführt werden.
  • Wenn = 1 sind die Wurzelkandidaten die Teiler von .
  • Wenn die Summe der Koeffizienten der Gleichung Null ist, ist die Zahl 1 wird Wurzel der Gleichung sein.

Beispiel 1

Löse die Gleichung .

Auflösung

Da der Koeffizient des Termes höchsten Grades ist 1sind die Kandidaten für rationale Wurzeln die Teiler des unabhängigen Begriffs:

 {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}

Lassen Sie uns einige dieser Werte überprüfen:

P (-6) = 840 (- 6 nicht root)P (6) = 1260 (6 nicht root)
P (1) = 0 1 Es ist WurzelP (-1) = 0-1 Es ist Wurzel

Da wir eine Gleichung 4. Grades haben und zwei ihrer Wurzeln kennen, erhalten wir mit dem Briot-Ruffini-Gerät eine Gleichung 2. Grades:

Also die Gleichung kann geschrieben werden als (x - 1) (x + 1) .Q (x) = 0mit Q (x) = x² + x - 6. Die Lösungen der Gleichung sind -1, 1 und die Wurzeln von Q (x):

Daher die Lösungsmenge der Gleichung é:

S = {-3, -1, 1, 2}

Beispiel 2

Löse die Gleichung :

Auflösung

Putten x Als Beweis haben wir:

So ist eine Wurzel 0 und die anderen sind Lösungen der Gleichung .

Beachten Sie, dass in Alle Koeffizienten sind ganze Zahlen. Da der Koeffizient des Terms höchsten Grades 1 ist, sind die rationalen Wurzelkandidaten die Teiler des unabhängigen Terms:

{-3, -1, 1, 3}

Überprüfung:

P (-3) = 0-3 Es ist WurzelP (3) = 120
P (-1) = -8P (1) = 01 Es ist Wurzel

Wir können die Gleichung schreiben wie folgt:

Wir wissen bereits, dass der Quotient von von x é . Jetzt lass uns trennen von (x + 3) und dieser Quotient für (x - 1) zu bekommen Q (x):

Q (x) = x² + 1

Also die Lösungsmenge der Gleichung é:

S = {-3, 0.1, -1, i}
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Video: Beweis, dass Wurzel aus 2 nicht rational, sondern irrational ist, indirekte Beweisführung (Juni 2021).